Моменти інерції плоских перерізів

Моменти інерції плоских перерізів (second moment of area або second moment of inertia).

Розрізняють такі моменти інерції поперечного перерізу (плоскої фігури):


  1. осьові (відносно осей x і y)
    $$J_y = \int_{A}x^2dA$$
    $$J_x = \int_{A}y^2dA$$

  2. полярний (відносно полюса “O”)

  3. $$J_{\rho} = \int_{A}{\rho}^2dA$$
  4. відцентровий

  5. $$J_{xy} = \int_{A}x y dA$$

    Осьові і полярний моменти інерції завжди додатні, а відцентровий момент інерції може набувати як додатних,
    так і від’ємних значень. При певному положенні осей y , x він може дорівнювати нулеві. Осі, відносно
    яких відцентровий момент інерції дорівнює нулеві, називаються головними осями.

    Залежність між моментами інерції при паралельному переносі осей.
    Формули для моментів інерції при паралельному переносі осей:
    $$J_{x_{1}} = \int_{A}(y+a)^2dA = J_{x} +2aS_x + a^2A$$
    $$J_{y_{1}} = \int_{A}(x+b)^2dA = J_{y} + 2bS_y + b^2A$$
    $$J_{x_{1}y_1} = \int_{A}(y+a)(x+b)dA = J_{x y} + aS_y+ bS_x + abA$$

    Якщо осі x і y є центральними ( центр системи координат збігається з центром ваги поперечного перерізу) то статичні моменти Sx і Sy дорівнюють нулю. Тоді:
    $$J_{x_{1}} = J_{x_c} + a^2A$$
    $$J_{y_{1}} = J_{y_c} + b^2A$$
    $$J_{x_{1}y_1} = J_{x_c y_c} + abA$$
    Залежність між моментами інерції при повороті осей
    $$J_{x_1} = J_x cos^2 \alpha + J_y sin^2 \alpha – J_{xy} sin (2\alpha)$$
    $$J_{y_1} = J_x sin^2 \alpha + J_y cos^2 \alpha + J_{xy} sin (2\alpha)$$
    і для відцентрового
    $$J_{x_1 y_1} = {J_x – J_y\over 2}* sin(2\alpha) + J_{xy} cos(2\alpha)$$
    Властивості моментів інерції


    • Розмірність моментів інерції – довжина4 (см4)

    • При повороті осей сума осьових моментів інерції не змінюється.
      $$J_{x_1} + J_{y_1} = J_x + J_y$$

    • Полярний момент інерції дорівнює сумі осьових моментів інерції:
      [math] J_p=J_x+J_y[/math]


    Центральні осі – це осі, які проходять через центр перерізу.
    Відносно таких осей статичні моменти перерізу дорівнюють нулеві.

    Головними центральними осями перерізу називають такі центральні осі, відносно яких відцентровий момент інерції Ixy рівний нулю. Якщо переріз має вісь симетрії, то вона завжди є головною віссю (центр ваги також завжди лежить на осі симетрії). Якщо переріз має дві осі симетрії (прямокутник, двотавр), то ці осі є головними центральними осями. Якщо переріз має безліч осей симетрії (круг, кільце), то будь-які центральні осі є головними центральними осями.

    Головними моментами інерції перерізу називають осьові моменти інерції, визначені відносно його центральних осей. Серед інших осьових моментів інерції відносно довільних центральних осей перерізу, головні моменти інерції набувають мінімального (min) та максимального (max) значення.