Моменти інерції деяких простих перерізів.

Момент інерції прямокутного перерізу

прямокутник

Розміри прямокутного перерізу - b*h

Осьові моменти інерції
$$J_x = {b*h^3\over 12} $$
$$J_y = {h*b^3\over 12} $$
Полярний момент інерції прямокутного перерізу
$$J_p = {b*h\over 12}*(h^2-b^2) $$

Квадратний переріз із стороною а :

квадрат

$$J_x = J_y = {a^4\over 12}$$
$$J_p = 2J_x = {a^4\over 6}$$

Момент інерції круга

круг 

$$J_{p}= 2\,\pi \,\int_{0}^{p}{p}^{3}dp$$
integrate(p^2*2*%pi*p, p, 0, p);
$$J_p= \frac{\pi \,{p}^{4}}{2}$$
$$J_p=J_x+J_y=2I_x$$
$$J_x=J_y= {J_p\over 2}= \frac{\pi \,{p}^{4}}{4} => {{\pi d^4} \over 64 } \approx 0.05 d^4$$

Момент інерції кругового кільця

кільце 
Кругове кільце з внутрішнім діаметром d і зовнішнім D.
$$J_x = J_y = {\pi D^4\over 64}*\left[1-\left({d\over D}\right)^4\right] \approx 0.05d^4 $$

Момент інерції напівкруга

напівкруг

Діаметр напівкруга d . Моменти інерції півкруга відносно
осей y та x1 будуть рівними між собою і вдвічі меншими, ніж
осьовий центральний момент інерції круга.
$$J_y = J_{x_1} = {\pi d^4\over 128}$$
Площа напівкруга
$$A={\pi*d^2\over 8}$$
Статичний момент півкруга відносно осі x1:
$$S_{x_1} = {d^3\over 12}$$
Знаходимо момент інерції півкруга відносно осі x:
$$J_x = \frac{\left( 9\,{\pi }^{2}-64\right) \,{d}^{4}}{1152\,\pi } \approx 0.00686d^4$$

Момент інерції трикутника

рівнобедрений трикутник

трикутник

Обчислимо моменти інерції для трикутника відносно центральної осі.
Центр ваги трикутника: [math]y_o=\frac{1}{3}h[/math].

Із dA=b(y)*dy а також з подібності
трикутників (2/3*h-y)/h=b(y)/b
можемо визначити
$$dA=\left( \frac{2\,b}{3}-\frac{b\,y}{h}\right)*dy $$
тоді
$$J_x= \int_{-\frac{h}{3}}^{\frac{2\,h}{3}}{y}^{2}\,\left( \frac{2\,b}{3}-\frac{b\,y}{h}\right) dy $$
з допомогою програми "Maxima"

integrate(y^2*(2/3*b-b*y/h), y, -h/3, 2/3*h);

одержуємо: $$J_x=\frac{b\,{h}^{3}}{36}$$
Для рівнобедреного трикутника [math]J_y=\frac{hb^3}{48}[/math]